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正定矩阵
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
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具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax，如果对任何非零向量x，都有x’Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0福0，则称f为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。即有定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。判定A是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。
正定矩阵有多种等价定义：如实矩阵A正定，如果对任意向量x,二次型xAx'>0.
见大学教材〈高等代揣〉线性代数
A是n阶实矩阵，x是n维实的列向量。如果对任何非零的x，x^T*A*x>0，那么称A是正定矩阵，注意这里x^T*A*x是一个实数(1x1矩阵)。
至于那个偏导，直接按定义求不就行了。
看上去你在看 x^T*A*x/2+b^T*x 的最值问题和方程 Ax=b 的联系，不过你的基本功看起来缺失了不少盯如果不把基本功补好的话搭空中楼阁是没有多大意义的。
有个定理
A 的顺序主子式都大于0
设A、B为两个n阶正定 矩阵：（由定义）对任何非零的n维实列向量x,恒有x'Ax>0,恒有x'Bx>0,
于是对任何非零的n维实列向量x，x'（A+B)x=x'Ax+x'Bx>0，由此得A+B为正定矩阵。
正定矩阵说白了其实就是对角线元素全是正数的矩阵，对于这道题，若A为正定矩阵，显然由正定矩阵的定义，只要化为标准矩阵之后对角线元素都是正数即可，不一定是对称矩阵。化为标准矩阵对角线全是正数，没有0，那么秩肯定是n，与D的说法是等价的。要记住，A为正定矩阵，A的转秩也是正定的，但是A的逆是不一定正定的。望采纳
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。 例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵） 一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为单位正交阵，则满足以下条件:
1) AT是正交矩阵
2)（E为单位矩阵）
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1
正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
则有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质
广义定义
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
狭义定义
一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz> 0。其中z’表示z的转置。
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量,X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵
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