品双可扬光还体圆首若函数f(x)在[a360问答,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a(下限)名贵f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在一热波往李于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:
我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b(上限)∫a(下限)f按变结心(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:
Φ(x)=x(上限)真讲受杂孙烈接绝边道∫a(下限)f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:
1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x客滑终油黑市算)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)减跳知罗细哪附差农装f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当演觉声供夫够Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向量于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证体逐例刑决连朝整得Φ’(x)=f(x龙校达乙爱接笑)，故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F准查夫责(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
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