柯西中值定理的证明:
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必李皮为常函数,结论显然成立。
若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),孙扰森由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。
扩展则亩资料:
范例解析
用罗尔中值定理证明:方程
3
在 (0,1) 内有实根。
证明: 设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,
,所以由罗尔中值定理,至少存在一点
,使得
,所以
,所以ξ是方程
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。
标签:柯西,定理
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